Mở đầu
Công thức tính tổng cấp số nhân thường khiến nhiều bạn cảm thấy khó nhớ. Họ thường than phiền về khả năng nhớ kém của bản thân. Nhưng thực ra, có thật sự cần thiết phải ghi nhớ công thức hay không? Không hề! Chỉ cần bạn suy luận logic và nắm bắt bản chất của vấn đề, bạn có thể hiểu rõ mọi thứ mà không cần phải phụ thuộc vào trí nhớ ngắn hạn của mình.
Trong bài viết này, tôi sẽ giúp bạn từng bước hiểu rõ cấp số nhân và tìm ra công thức mà không cần học thuộc lòng. Cuối cùng, tôi sẽ chia sẻ với bạn một câu chuyện thú vị liên quan đến cấp số nhân, hy vọng bạn sẽ thích!
Nếu thấy bài viết hữu ích, hãy ủng hộ tôi bằng cách like, share và follow để tôi có thêm động lực nhé!
Định nghĩa cấp số nhân (Geometric Progression)
Cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn: từ số thứ hai trở đi, mỗi số đều là tích của số trước nó với một hằng số không đổi.
Hằng số này được gọi là tỉ số chung và thường được ký hiệu là r. Ví dụ, dãy số sau đây:
1, 3, 9, 27, 81là một cấp số nhân với tỉ số chung r = 3. Các phần tử trong dãy được tính như sau:
1 x 3 = 3
3 x 3 = 9
9 x 3 = 27
27 x 3 = 81Để tính tổng tất cả các phần tử của một cấp số nhân, chúng ta thường sử dụng công thức, nhưng công thức này không áp dụng khi r = 1 vì dẫn đến phép chia cho 0. Đối với trường hợp này, tổng sẽ là tổng của n số a, tức là n x a.
Giờ hãy quay lại ví dụ ở trên: Dãy số 1, 3, 9, 27, 81 với hằng số r = 3. Chúng ta sẽ đi qua cách suy luận logic để tìm ra công thức tính tổng mà không cần phải nhớ công thức khô khan.
Suy luận logic để tìm ra công thức
Theo định nghĩa về cấp số nhân, mỗi số từ số thứ hai trở đi là một biến thể của số đầu tiên, a, nhân với tỉ số chung r. Chúng ta có:
- Số đầu tiên là
a - Số thứ hai là
a x r - Số thứ ba là
a x r^2 - Số thứ tư là
a x r^3 - ...
- Số thứ
nlàa x r^{n-1}
Vậy tổng của dãy số này sẽ là:
S = a + (a x r) + (a x r²) + (a x r³) + ... + (a x r^{n-2}) + (a x r^{n-1})Ký hiệu phương trình này là 1️⃣.
Tiếp theo, nhân cả hai bên phương trình 1️⃣ với r:
S x r = a x r + (a x r²) + (a x r³) + ... + (a x r^{n-1}) + (a x r^n)Ký hiệu phương trình này là 2️⃣. Từ phương trình 2️⃣, ta có:
(S x r) - S = (a x r^{n}) - aRút gọn hai vế chúng ta có:
S x (r - 1) = a x (r^n - 1)Từ đây, ta có thể dễ dàng suy ra công thức tính tổng cấp số nhân:
$$ S = \frac{a (r^n - 1)}{r - 1} $$
Trong đó:
alà số đầu tiên trong dãy.rlà hằng số tỉ số.nlà số phần tử trong dãy.
Đây chính là cách suy luận logic giúp bạn không còn phải ghi nhớ công thức một cách máy móc.
Câu chuyện hấp dẫn về cấp số nhân
Có một câu chuyện nổi tiếng về cấp số nhân mà mọi người thường nhắc đến: câu chuyện về bàn cờ vua và những hạt thóc.
Khi nhà thông thái sáng tạo ra bàn cờ vua 8x8 (tổng cộng 64 ô), ông đã được vua gọi vào triều để ban thưởng. Nhà thông thái chỉ xin một điều đơn giản: muốn được thưởng thóc xếp theo quy luật cấp số nhân, với ô đầu tiên là 1 hạt thóc và ô sau sẽ là số hạt gấp đôi ô trước đó.
Ban đầu, nhà vua có vẻ không hài lòng vì nghĩ ông thông thái quá kiêu ngạo. Nhưng vì nể nang, vua đồng ý. Khi người hầu bắt đầu xếp thóc, từ 1 hạt đến 2 hạt, rồi 4 hạt, 8 hạt,... chỉ một thời gian ngắn sau, họ nhận ra rằng việc này trở nên không thể. Khi đến ô thứ 21, số thóc đã lên tới hơn 1 triệu hạt và ô thứ 64 lên tới 9 tỷ tỷ hạt.
Nhà vua lúc này mới nhận ra ý nghĩa sâu sắc của cấp số nhân: chỉ cần một bước nhỏ trong số học, mà kết quả có thể trở nên khổng lồ đến mức không thể tưởng tượng nổi.
Câu chuyện này không chỉ là một minh chứng về sự quyền lực của cấp số nhân mà còn thể hiện trí tuệ vĩ đại thông qua ví dụ đơn giản này.
Kết luận
Hi vọng kiến thức về cấp số nhân trong bài viết này hữu ích cho bạn. Đừng quên áp dụng cách suy luận logic này trong học tập và cuộc sống hàng ngày để phát triển tư duy của mình!
Hẹn gặp lại bạn trong những bài viết tiếp theo! 👋
source: viblo
