V. Thuật toán Pollard (tiếp theo)
2. Tấn công phân tích nhân tử theo thuật toán Pollard ρ
2.1. Giới thiệu về thuật toán Pollard ρ
Trong giải thuật RSA, việc phân tích số n là một thách thức lớn. Giả sử n là tích của hai số nguyên tố lớn p và q. Thuật toán Pollard ρ là một phương pháp hiệu quả trong việc tìm kiếm ước nguyên tố của n. Tương tự như thuật toán Pollard's ρ−1, để phát hiện một ước nguyên tố, ta cần tìm hai số nguyên dương x và x' không lớn hơn n và thỏa mãn:
x ≡ x' (mod p)
Khi đó ta có p | (x - x') và vì p | n (do n là tích của p và q), nên cũng suy ra p | gcd(x - x', n). Từ đây, ta có:
gcd(x - x', n) ≥ p > 1. Điều này có nghĩa là gcd(x - x', n) là một ước (khác 1) của n.
2.2. Cách tìm cặp số (x, x')
Để giải bài toán này, chúng ta cần chọn một tập hợp X ⊂ Z chứa các số nguyên không vượt quá n. Mục tiêu là tìm ra hai phần tử x, x' trong X sao cho gcd(x - x', n) > 1.
Ánh xạ x → x (mod p) đôi khi dẫn đến khả năng hai phần tử có cùng ánh xạ từ 50%. Với xác suất này, chúng ta chỉ cần chọn tập X có kích thước tối thiểu là 1.71 * √p.
Tuy nhiên, việc xây dựng tập X cần tính đến số lần tính toán gcd. Vì vậy, thay vì tạo ngẫu nhiên, thuật toán Pollard ρ chọn các phần tử theo quy tắc nhất định. Chúng ta sẽ chọn một đa thức f với hệ số nguyên, khởi tạo x1 là một số nguyên nhỏ hơn n, và lần lượt tính:
xi+1 = f(xi) mod n,
Tập X cuối cùng thu được sẽ là {x1, x2, ..., xm}.
2.3. Tính chất của thuật toán Pollard ρ
Thuật toán Pollard ρ thường chạy theo dạng vòng lặp của các số nguyên, giúp đơn giản hóa việc tìm gcd. Nếu tìm thấy xi ≡ xj (mod p), thì nó cũng đồng nghĩa với việc f(xi) ≡ f(xj) (mod p), cho phép chúng ta nhanh chóng xác định cặp số tương ứng trong quá trình tính toán gcd.
2.4. Ví dụ minh họa
Giả sử n = 7171 và chúng ta xác định f(x)=x^2+1. Ta khởi tạo x1 = 1 và tạo ra dãy số với 18 phần tử đầu. Cụ thể, các phần tử này sẽ rơi vào các vòng lặp do tính chất lặp lại của các số theo module p.
2.5. Triển khai thuật toán Pollard ρ
Hướng dẫn cách cài đặt một thuật toán Pollard ρ bằng Python cũng được cung cấp, cùng với các kết quả cho thấy thuật toán có thể trả về một ước nguyên tố. Điều quan trọng là phải lựa chọn hàm f(x) sao cho nó tạo ra dãy số nhanh chóng hội tụ vào vòng lặp.
3. Khám phá thêm các ứng dụng của thuật toán Pollard
Từ ví dụ về mã hóa RSA, thuật toán Pollard có thể tái áp dụng để tìm kiếm các số nguyên tố trong các hệ thống mã hóa, đặc biệt là trong những trường hợp mà không có số nguyên tố lớn độc lập.
4. Kết luận
Thuật toán Pollard ρ là một công cụ mạnh mẽ trong việc phân tích số và tìm kiếm ước nguyên tố trong mật mã RSA. Với những hiểu biết sâu hơn về cơ chế hoạt động của nó, ta có thể áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau phục vụ cho nhu cầu bảo mật thông tin và an ninh mạng.
source: viblo
