Giới thiệu
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về phương pháp trao đổi khóa an toàn thông qua thuật toán Elliptic-curve Diffie-Hellman (ECDH). Trong bài trước, chúng ta đã khám phá Diffie-Hellman và bài toán logarit rời rạc. Để hiểu rõ hơn về ECDH, hãy cùng tìm hiểu các kiến thức cơ bản về đường cong elliptic, một bước quan trọng để nắm vững ECDH.
Tính Chất Của Phép Nhân Trong Đường Cong Elliptic
Trong toán học, phép nhân trên đường cong elliptic được hiểu như là phép nhân vô hướng giữa một số và một điểm. Tính chất đặc biệt của nó là:
$$m*(nG) = (mn)G = (nm)G = n(m*G)$$
Điều này tương tự như tính chất giao hoán và kết hợp trong phép nhân số học thông thường.
Thuật Toán ECDH
Cách Thực Hiện
Giả sử chúng ta làm việc với một đường cong $E_p(x_1, x_2)$ và điểm sinh G. Các bước để thực hiện trao đổi khóa như sau:
-
Chọn Khóa Bí Mật:
- An chọn một khóa bí mật là a.
- Bình chọn một khóa bí mật là b.
-
Trao Đổi Khóa:
- An tính toán điểm A = a * G và gửi cho Bình.
- Bình tính toán điểm B = b * G và gửi cho An.
-
Tính Toán Khóa Chung:
- An tính khóa s1 = a * B.
- Bình tính khóa s2 = b * A.
-
Xác Nhận Khóa Chung:
- Cả hai tính toán ra khóa chung s = s1 = s2.
- Điều này có thể được chứng minh rằng a * (b * G) = b * (a * G).
-
Bảo Mật Khóa:
- Kẻ tấn công khó có thể tìm ra a hoặc b khi chỉ biết A hoặc B.
Khi đã thiết lập khóa bí mật chung, An và Bình có thể sử dụng nó để mã hóa thông tin bằng các thuật toán khác như AES.
Ví Dụ Về ECDH
Để rõ hơn, hãy xem một ví dụ cụ thể. Chúng ta chọn đường cong $E_{23}(1, 1)$ với điểm sinh $G = (3,10)$.
-
Chọn Khóa:
- An chọn khóa bí mật là 3.
- Bình chọn khóa bí mật là 5.
-
Trao Đổi Khóa:
- An gửi A = 3 * (3,10) = (19,5).
- Bình gửi B = 5 * (3,10) = (9,16).
-
Tính Toán Khóa:
- An tính s1 = 3 * (9,16) = (1,16).
- Bình tính s2 = 5 * (19,5) = (1,16).
Do đó, khóa chung mà cả hai chia sẻ là (1,16).
Ưu Nhược Điểm Của ECDH
Ưu Điểm
- Bảo Mật: Cơ sở toán học mạnh mẽ từ đường cong elliptic mang lại bảo mật cao.
- Hiệu Năng: Khóa ngắn, giúp giảm kích thước dữ liệu truyền.
Nhược Điểm
- Tấn Công Man-in-the-Middle: Cần phải có biện pháp bảo mật bổ sung.
So Sánh ECDH và Diffie-Hellman Truyền Thống
1. Bảo Mật
- ECDH: Mạnh mẽ hơn với khóa ngắn hơn.
- Diffie-Hellman: Yêu cầu khóa dài hơn để đảm bảo tính bảo mật tương đương.
2. Hiệu Suất
- ECDH: Tính toán nhanh hơn, thích hợp cho thiết bị hạn chế.
- Diffie-Hellman: Chậm hơn và cần nhiều tài nguyên hơn.
3. Độ Phức Tạp
- ECDH: Phức tạp hơn, nhưng bảo mật cao hơn.
- Diffie-Hellman: Đơn giản hơn và dễ triển khai hơn.
4. Ứng Dụng
- ECDH: Phổ biến trong các giao thức bảo mật hiện đại.
- Diffie-Hellman: Vẫn được sử dụng nhưng đang dần bị thay thế.
Kết Luận
Tóm lại, ECDH là một giải pháp mạnh mẽ cho việc trao đổi khóa an toàn trong môi trường mạng hiện đại. Hãy đảm bảo rằng bạn hiểu rõ các khái niệm cơ bản trước khi triển khai. Nếu cần, hãy tham khảo các tài liệu khác để có cái nhìn sâu sắc hơn về ECDH và những ứng dụng của nó.
source: viblo
